MediuMatematică financiarăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică financiară

MediuMatematică financiarăProgresii GeometriceLogaritmi
O bancă oferă un cont de economii cu dobândă compusă la o rată anuală r=8%r = 8\%. Un investitor depune inițial S0=5000S_0 = 5000 de lei și apoi adaugă A=1000A = 1000 de lei la sfârșitul fiecărui an. Determinați: a) Exprimați suma totală după nn ani, SnS_n, folosind o progresie geometrică. b) După câți ani suma totală depășește 20000 de lei? (Utilizați logaritmi.) c) Dacă după 5 ani rata dobânzii crește la 10%10\%, care este suma după 10 ani?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru partea a, se scrie formula pentru suma după n ani: Sn=S0(1+r)n+A(1+r)n−1rS_n = S_0 (1+r)^n + A \frac{(1+r)^n - 1}{r}, unde r=0.08r=0.08. Aceasta implică o progresie geometrică cu rația 1+r1+r, iar termenii sunt suma unei progresii geometrice pentru depunerea inițială și a unei serii de plăți.
23 puncte
Pentru partea b, se rezolvă inegalitatea Sn>20000S_n > 20000. Se obține 5000⋅1.08n+1000⋅1.08n−10.08>200005000 \cdot 1.08^n + 1000 \cdot \frac{1.08^n - 1}{0.08} > 20000. Simplificând, se ajunge la 1.08n>k1.08^n > k, unde k=20000+10000.085000+10000.08k = \frac{20000 + \frac{1000}{0.08}}{5000 + \frac{1000}{0.08}}, și se aplică logaritmi: n>ln⁡kln⁡1.08n > \frac{\ln k}{\ln 1.08}.
34 puncte
Pentru partea c, se calculează suma după 5 ani cu r=8%r=8\%: S5=5000⋅1.085+1000⋅1.085−10.08S_5 = 5000 \cdot 1.08^5 + 1000 \cdot \frac{1.08^5 - 1}{0.08}. Apoi, pentru următorii 5 ani, suma inițială este S5S_5, rata este 10%10\%, și se adaugă A=1000A=1000 lei anual, deci suma după 10 ani este S10=S5⋅1.105+1000⋅1.105−10.10S_{10} = S_5 \cdot 1.10^5 + 1000 \cdot \frac{1.10^5 - 1}{0.10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică financiară

Ușor#1Matematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se depune suma de 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. Calculați suma acumulată după 10 ani și determinați după câți ani suma inițială se dublează.
Ușor#2Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
La începutul anului 2020, Maria depune 8000 de lei într-un cont cu dobândă compusă la o rată anuală de 4%. La sfârșitul anului 2022, ea adaugă încă 2000 de lei. Rata dobânzii se schimbă la 5% începând cu anul 2024. Care este valoarea contului la sfârșitul anului 2026?
Mediu#3Matematică financiarăLogaritmi
Un împrumut de 10.000 de lei este acordat cu o rată a dobânzii de 8% pe an, compusă lunar. Împrumutatul plătește lunar o rată constantă de R lei timp de 60 de luni. Să se determine valoarea lui R astfel încât după 60 de luni soldul să fie zero. Apoi, să se calculeze suma totală plătită de către împrumutat.
Ușor#4Matematică financiarăProcenteAlgebră și Calcule cu Numere Reale
O bancă oferă un împrumut de 10000 lei cu o dobândă compusă anuală de 5%. Împrumutul trebuie rambursat în 3 ani prin plăți anuale egale la sfârșitul fiecărui an. Determinați suma plătită anual.
Vezi toate problemele de Matematică financiară →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică financiară cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.