MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația x+1+2x+3=5\sqrt{x+1} + \sqrt{2x+3} = 5, folosind identități algebrice pentru a simplifica calculele și verificând soluțiile obținute.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează a=x+1a = \sqrt{x+1} și b=2x+3b = \sqrt{2x+3}, cu condițiile a≥0a \ge 0, b≥0b \ge 0, adică x≥−1x \ge -1 și x≥−32x \ge -\frac{3}{2}, deci domeniul este x≥−1x \ge -1. Ecuația devine a+b=5a + b = 5. De asemenea, a2=x+1a^2 = x+1 și b2=2x+3b^2 = 2x+3. Scăzând, obținem b2−a2=(2x+3)−(x+1)=x+2b^2 - a^2 = (2x+3) - (x+1) = x+2.
24 puncte
Folosim identitatea b2−a2=(b−a)(b+a)=(b−a)⋅5=x+2b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) = (b-a) \cdot 5 = x+2. De aici, b−a=x+25b-a = \frac{x+2}{5}. Avem sistemul: a+b=5a+b = 5 și b−a=x+25b-a = \frac{x+2}{5}. Adunând și scăzând, găsim b=5+x+252=25+x+210=x+2710b = \frac{5 + \frac{x+2}{5}}{2} = \frac{25 + x + 2}{10} = \frac{x+27}{10} și a=5−x+252=25−(x+2)10=23−x10a = \frac{5 - \frac{x+2}{5}}{2} = \frac{25 - (x+2)}{10} = \frac{23 - x}{10}.
33 puncte
Din a2=x+1a^2 = x+1, obținem (23−x10)2=x+1\left(\frac{23-x}{10}\right)^2 = x+1. Aceasta duce la (23−x)2=100(x+1)(23-x)^2 = 100(x+1), adică x2−46x+529=100x+100x^2 - 46x + 529 = 100x + 100, deci x2−146x+429=0x^2 - 146x + 429 = 0. Discriminantul este Δ=1462−4⋅429=21316−1716=19600\Delta = 146^2 - 4 \cdot 429 = 21316 - 1716 = 19600, cu rădăcina pătrată 140140. Soluțiile sunt x1=146−1402=3x_1 = \frac{146 - 140}{2} = 3 și x2=146+1402=143x_2 = \frac{146 + 140}{2} = 143. Se verifică condiția x≥−1x \ge -1: ambele sunt valide. Se verifică în ecuația inițială: pentru x=3x=3, 4+9=2+3=5\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2+3=5 (corect); pentru x=143x=143, 144+289=12+17=29≠5\sqrt{144} + \sqrt{289} = 12+17=29 \neq 5 (fals). Deci singura soluție este x=3x=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.