MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebricePolinoame
Fie P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c un polinom de gradul al doilea cu a≠0a \neq 0. Dacă x1x_1 și x2x_2 sunt rădăcinile sale (reale sau complexe), demonstrați identitățile: i) x12+x22=b2−2aca2x_1^2+x_2^2 = \frac{b^2-2ac}{a^2}, ii) x13+x23=3abc−b3a3x_1^3+x_2^3 = \frac{3abc-b^3}{a^3}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scriu relațiile lui Viète: x1+x2=−bax_1+x_2=-\frac{b}{a} și x1x2=cax_1x_2=\frac{c}{a}.
23 puncte
Pentru i, se folosește identitatea x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 și se înlocuiesc relațiile lui Viète, obținând x12+x22=b2a2−2ca=b2−2aca2x_1^2+x_2^2=\frac{b^2}{a^2}-2\frac{c}{a}=\frac{b^2-2ac}{a^2}.
33 puncte
Pentru ii, se folosește identitatea x13+x23=(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) și se înlocuiesc relațiile lui Viète, obținând x13+x23=−b3a3−3ca(−ba)=−b3+3abca3=3abc−b3a3x_1^3+x_2^3=-\frac{b^3}{a^3}-3\frac{c}{a}\left(-\frac{b}{a}\right)=\frac{-b^3+3abc}{a^3}=\frac{3abc-b^3}{a^3}.
42 puncte
Se concluzionează că identitățile sunt demonstrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.