MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareIdentități algebrice
Fie a,b,ca, b, c numere reale distincte. Calculați determinantul matricei V=(111abca2b2c2)V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix} și arătați că det⁡(V)=(a−b)(b−c)(c−a)\det(V) = (a-b)(b-c)(c-a). Utilizați acest rezultat pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=0a2x+b2y+c2z=0\begin{cases} x + y + z = 1 \\ a x + b y + c z = 0 \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = 0 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm det⁡(V)\det(V) prin dezvoltare după prima linie: det⁡(V)=1⋅det⁡(bcb2c2)−1⋅det⁡(aca2c2)+1⋅det⁡(aba2b2)=(bc2−b2c)−(ac2−a2c)+(ab2−a2b)=(a−b)(b−c)(c−a)\det(V) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} b & c \\ b^2 & c^2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} a & c \\ a^2 & c^2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} a & b \\ a^2 & b^2 \end{pmatrix} = (bc^2 - b^2 c) - (ac^2 - a^2 c) + (ab^2 - a^2 b) = (a-b)(b-c)(c-a).\n
23 puncte
Sistemul se scrie sub formă matricială VTx⃗=(100)V^T \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, cu x⃗=(x,y,z)\vec{x} = (x, y, z). Deoarece a,b,ca, b, c sunt distincte, det⁡(V)≠0\det(V) \neq 0, deci det⁡(VT)≠0\det(V^T) \neq 0 și sistemul are soluție unică.\n
33 puncte
Aplicăm regula lui Cramer. Calculăm x=det⁡(Vx)det⁡(VT)x = \frac{\det(V_x)}{\det(V^T)}, unde VxV_x se obține înlocuind prima coloană a lui VTV^T cu (100)\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. Analog pentru yy și zz. Obținem x=(b−c)(c−a)(a−b)(b−c)(c−a)=1a−bx = \frac{(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{1}{a-b}, y=1b−cy = \frac{1}{b-c}, z=1c−az = \frac{1}{c-a}, după simplificări.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.