MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații neliniare: {x+y+xy=7x2+y2+xy=13\begin{cases} x+y+xy=7 \\ x^2+y^2+xy=13 \end{cases} pentru x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosiți identitatea algebrică (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 pentru a exprima x2+y2x^2+y^2 în funcție de (x+y)(x+y) și xyxy, obținând x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy.
23 puncte
Înlocuiți în a doua ecuație: (x+y)2−2xy+xy=13(x+y)^2 - 2xy + xy = 13, deci (x+y)2−xy=13(x+y)^2 - xy = 13.
32 puncte
Notați S=x+yS = x+y și P=xyP = xy. Sistemul devine: {S+P=7S2−P=13\begin{cases} S+P=7 \\ S^2 - P = 13 \end{cases}.
42 puncte
Rezolvați sistemul: din prima ecuație, P=7−SP = 7 - S; înlocuiți în a doua: S2−(7−S)=13⇒S2+S−20=0⇒S=4S^2 - (7 - S) = 13 \Rightarrow S^2 + S - 20 = 0 \Rightarrow S = 4 sau S=−5S = -5. Pentru S=4S=4, P=3P=3, deci xx și yy sunt rădăcinile ecuației t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3=0, adică (1,3)(1,3) sau (3,1)(3,1). Pentru S=−5S=-5, P=12P=12, ecuația t2+5t+12=0t^2 + 5t + 12=0 are discriminant negativ, deci nu există soluții reale. Soluțiile sunt (1,3)(1,3) și (3,1)(3,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.