MediuCombinatoricăClasa 11

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăȘiruri de numere realeInducție matematică
Fie șirul (an)(a_n) definit prin an=∑k=0n(nk)ka_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} k pentru n∈Nn \in \mathbb{N}. Să se demonstreze că an=n⋅2n−1a_n = n \cdot 2^{n-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosind identitatea combinatorică (nk)k=n(n−1k−1)\binom{n}{k} k = n \binom{n-1}{k-1} pentru k≥1k \geq 1, rescriem suma: an=∑k=1nn(n−1k−1)=n∑j=0n−1(n−1j)=n⋅2n−1a_n = \sum_{k=1}^{n} n \binom{n-1}{k-1} = n \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} = n \cdot 2^{n-1}, deoarece ∑j=0n−1(n−1j)=2n−1\sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} = 2^{n-1}.
24 puncte
Demonstrație prin inducție matematică.
  • Baza: Pentru n=0n=0, a0=0a_0 = 0 și 0⋅2−1=00 \cdot 2^{-1} = 0, deci este adevărat.
  • Ipoteza inductivă: Presupunem că pentru n=kn=k, ak=k⋅2k−1a_k = k \cdot 2^{k-1}.
  • Pas inductiv: Pentru n=k+1n=k+1, folosim identitatea: ak+1=∑i=0k+1(k+1i)i=(k+1)∑j=0k(kj)=(k+1)⋅2ka_{k+1} = \sum_{i=0}^{k+1} \binom{k+1}{i} i = (k+1) \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} = (k+1) \cdot 2^{k}, conform ipotezei și a proprietății sumei coeficienților binomiali.
33 puncte
Verificăm că expresia obținută coincide: ak+1=(k+1)⋅2ka_{k+1} = (k+1) \cdot 2^{k}, care este exact n⋅2n−1n \cdot 2^{n-1} pentru n=k+1n=k+1. Astfel, prin inducție, an=n⋅2n−1a_n = n \cdot 2^{n-1} pentru orice nn natural.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.