MediuEcuații iraționaleClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații iraționale

MediuEcuații iraționaleFuncția de gradul I
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația 5x−1+3−x=4\sqrt{5x-1}+\sqrt{3-x}=4.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Determinarea domeniului de definiție: 5x−1≥05x-1\ge0 și 3−x≥03-x\ge0, deci x∈[15,3]x\in\left[\frac{1}{5},3\right].
22 puncte
Se notează a=5x−1≥0a=\sqrt{5x-1}\ge0, b=3−x≥0b=\sqrt{3-x}\ge0. Atunci a+b=4a+b=4 și a2+b2=(5x−1)+(3−x)=4x+2a^2+b^2=(5x-1)+(3-x)=4x+2.
32 puncte
Din (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, obținem 16=(4x+2)+2ab16=(4x+2)+2ab, deci 2ab=14−4x2ab=14-4x, iar ab=7−2xab=7-2x.
42 puncte
Dar ab=(5x−1)(3−x)ab=\sqrt{(5x-1)(3-x)}. Atunci (5x−1)(3−x)=7−2x\sqrt{(5x-1)(3-x)}=7-2x. Condiție suplimentară: 7−2x≥07-2x\ge0, deci x≤3.5x\le3.5, dar domeniul este deja x≤3x\le3.
52 puncte
Ridicăm la pătrat: (5x−1)(3−x)=(7−2x)2(5x-1)(3-x)=(7-2x)^2. Se obține: 15x−5x2−3+x=49−28x+4x215x-5x^2-3+x=49-28x+4x^2, adică 16x−5x2−3=49−28x+4x216x-5x^2-3=49-28x+4x^2. Rezultă 44x−9x2−52=044x-9x^2-52=0, sau 9x2−44x+52=09x^2-44x+52=0. Calculăm discriminantul: Δ=1936−1872=64\Delta=1936-1872=64, deci x1=44+818=5218=269≈2.888x_1=\frac{44+8}{18}=\frac{52}{18}=\frac{26}{9}\approx2.888, x2=44−818=3618=2x_2=\frac{44-8}{18}=\frac{36}{18}=2.
61 punct
Verificare în ecuația inițială: Pentru x=2x=2: 9+1=3+1=4\sqrt{9}+\sqrt{1}=3+1=4, adevărat. Pentru x=269x=\frac{26}{9}: 1309−1+3−269=1219+19=113+13=4\sqrt{\frac{130}{9}-1}+\sqrt{3-\frac{26}{9}}=\sqrt{\frac{121}{9}}+\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{11}{3}+\frac{1}{3}=4, adevărat. Ambele soluții sunt în domeniu. Soluția finală: x∈{2,269}x\in\left\{2,\frac{26}{9}\right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații iraționale

Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.
Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.
Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.
Ușor#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−1)2x−1=0.(x^2 - 1)\sqrt{2x - 1} = 0.
Vezi toate problemele de Ecuații iraționale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.