MediuVectoriClasa 10

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriTrigonometrieGeometrie Analitică
Fie vectorii u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=−2i⃗+j⃗\vec{v} = -2\vec{i} + \vec{j}. Calculați: a) Unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v}. b) Proiecția vectorială a lui u⃗\vec{u} pe direcția lui v⃗\vec{v}. c) Dacă w⃗=au⃗+bv⃗\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} este un vector cu ∣w⃗∣=5|\vec{w}| = 5 și w⃗⋅u⃗=0\vec{w} \cdot \vec{u} = 0, determinați aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru unghi, calculăm cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}. Avem u⃗⋅v⃗=3⋅(−2)+4⋅1=−6+4=−2\vec{u} \cdot \vec{v} = 3\cdot(-2) + 4\cdot1 = -6+4=-2, ∣u⃗∣=32+42=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2+4^2}=5, ∣v⃗∣=(−2)2+12=5|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}, deci cos⁡θ=−255=−2525\cos \theta = \frac{-2}{5\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{25} și θ=arccos⁡(−2525)\theta = \arccos\left(-\frac{2\sqrt{5}}{25}\right).
22 puncte
Proiecția vectorială: projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗=−25v⃗=−25(−2i⃗+j⃗)=45i⃗−25j⃗\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v} = \frac{-2}{5} \vec{v} = \frac{-2}{5}(-2\vec{i} + \vec{j}) = \frac{4}{5}\vec{i} - \frac{2}{5}\vec{j}.
33 puncte
Condițiile pentru w⃗\vec{w}: ∣w⃗∣=5|\vec{w}| = 5 și w⃗⋅u⃗=0\vec{w} \cdot \vec{u} = 0. Exprimăm w⃗=a(3i⃗+4j⃗)+b(−2i⃗+j⃗)=(3a−2b)i⃗+(4a+b)j⃗\vec{w} = a(3\vec{i}+4\vec{j}) + b(-2\vec{i}+\vec{j}) = (3a-2b)\vec{i} + (4a+b)\vec{j}. Atunci w⃗⋅u⃗=(3a−2b)⋅3+(4a+b)⋅4=9a−6b+16a+4b=25a−2b=0\vec{w} \cdot \vec{u} = (3a-2b)\cdot3 + (4a+b)\cdot4 = 9a-6b+16a+4b=25a-2b=0.
43 puncte
Modulul: ∣w⃗∣2=(3a−2b)2+(4a+b)2=9a2−12ab+4b2+16a2+8ab+b2=25a2−4ab+5b2=25|\vec{w}|^2 = (3a-2b)^2 + (4a+b)^2 = 9a^2 -12ab+4b^2 + 16a^2+8ab+b^2 = 25a^2 -4ab+5b^2 = 25. Din 25a−2b=025a-2b=0, avem b=252ab=\frac{25}{2}a. Înlocuind: 25a2−4a⋅252a+5(252a)2=25a2−50a2+31254a2=31254a2−25a2=3125−1004a2=30254a2=25⇒a2=1003025=4121⇒a=±21125a^2 -4a\cdot\frac{25}{2}a + 5\left(\frac{25}{2}a\right)^2 = 25a^2 -50a^2 + \frac{3125}{4}a^2 = \frac{3125}{4}a^2 -25a^2 = \frac{3125-100}{4}a^2 = \frac{3025}{4}a^2 = 25 \Rightarrow a^2 = \frac{100}{3025} = \frac{4}{121} \Rightarrow a=\pm\frac{2}{11}, apoi b=252a=±2511b=\frac{25}{2}a = \pm\frac{25}{11}. Soluțiile: (a,b)=(211,2511)(a,b)=\left(\frac{2}{11}, \frac{25}{11}\right) sau (−211,−2511)\left(-\frac{2}{11}, -\frac{25}{11}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.