MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=exxf(x) = \frac{e^x}{x}. a) Determinați asimptotele funcției. b) Calculați derivata funcției și studiați monotonitatea acesteia pe domeniul de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea asimptotei verticale: se calculează lim⁡x→0−f(x)=−∞\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty și lim⁡x→0+f(x)=+∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty, deci x=0x = 0 este asimptotă verticală.
22 puncte
Studierea asimptotelor orizontale: lim⁡x→−∞f(x)=0\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0, deci y=0y = 0 este asimptotă orizontală spre −∞-\infty; lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, deci nu există asimptotă orizontală spre +∞+\infty.
33 puncte
Verificarea existenței asimptotei oblice spre +∞+\infty: se calculează m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞exx2=+∞m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty, deci nu există asimptotă oblică.
43 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=ex(x−1)x2f'(x) = \frac{e^x(x-1)}{x^2}. Studierea monotoniei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x>1x > 1 și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x<1x < 1, x≠0x \neq 0, deci funcția este descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0) și (0,1)(0,1), și crescătoare pe (1,∞)(1,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.