MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(1+e2x)f(x)=\ln(1+e^{2x}). a) Studiați monotonia funcției ff. b) Stabiliți intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff. c) Demonstrați că pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R} are loc inegalitatea f(x)≥2xf(x)\geq 2x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)=2e2x1+e2xf'(x)=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}. Se observă că f′(x)>0f'(x)>0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}, deci ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}.
24 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)=4e2x(1+e2x)−4e4x(1+e2x)2=4e2x(1+e2x)2f''(x)=\frac{4e^{2x}(1+e^{2x})-4e^{4x}}{(1+e^{2x})^2}=\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}. Deoarece f′′(x)>0f''(x)>0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}, funcția este convexă pe R\mathbb{R}; nu există intervale de concavitate.
33 puncte
Se consideră funcția auxiliară g(x)=f(x)−2x=ln⁡(1+e2x)−2xg(x)=f(x)-2x=\ln(1+e^{2x})-2x. Derivata g′(x)=f′(x)−2=2e2x1+e2x−2=2e2x−2−2e2x1+e2x=−21+e2x<0g'(x)=f'(x)-2=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}-2=\frac{2e^{2x}-2-2e^{2x}}{1+e^{2x}}=\frac{-2}{1+e^{2x}}<0, deci gg este strict descrescătoare. Calculând lim⁡x→∞g(x)=lim⁡x→∞(ln⁡(1+e2x)−2x)=lim⁡x→∞ln⁡(1+e2xe2x)=ln⁡1=0\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}(\ln(1+e^{2x})-2x)=\lim_{x\to\infty}\ln\left(\frac{1+e^{2x}}{e^{2x}}\right)=\ln 1=0, rezultă că g(x)≥0g(x)\geq 0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}, adică f(x)≥2xf(x)\geq 2x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.