MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmi
Rezolvați sistemul de ecuații: {x2+y2=52x+2y=4\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ 2^x + 2^y = 4 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm că 2x>02^x > 0 și 2y>02^y > 0. Din 2x+2y=42^x + 2^y = 4, considerăm notațiile a=2xa = 2^x și b=2yb = 2^y.
23 puncte
Sistemul devine: {(log⁡2a)2+(log⁡2b)2=5a+b=4,a>0,b>0\begin{cases} (\log_2 a)^2 + (\log_2 b)^2 = 5 \\ a + b = 4, a>0, b>0 \end{cases}.
33 puncte
Din a+b=4a + b = 4, avem b=4−ab = 4 - a. Substituim în prima ecuație: (log⁡2a)2+(log⁡2(4−a))2=5(\log_2 a)^2 + (\log_2 (4-a))^2 = 5. Se verifică că pentru a=2a=2, b=2b=2 nu satisface, dar pentru a=2a=2, b=4b=4 avem (log⁡22)2+(log⁡24)2=12+22=5(\log_2 2)^2 + (\log_2 4)^2 = 1^2 + 2^2 = 5. Similar pentru a=4a=4, b=2b=2.
42 puncte
Obținem x=log⁡22=1x = \log_2 2 = 1, y=log⁡24=2y = \log_2 4 = 2 sau x=2x=2, y=1y=1. Mulțimea soluțiilor este {(1,2),(2,1)}\{(1,2), (2,1)\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.