MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
În trapezul ABCDABCD cu bazele ABAB și CDCD paralele, se cunosc: AB=10AB = 10, CD=6CD = 6, BC=5BC = 5, și DA=6DA = 6. a) Să se determine unghiurile ascuțite ∠DAB\angle DAB și ∠ABC\angle ABC. b) Să se calculeze înălțimea trapezului și aria sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Trasăm înălțimile CECE și DFDF pe baza ABAB, cu E,F∈ABE,F \in AB. Atunci EF=CD=6EF = CD = 6, și AE+FB=AB−EF=4AE + FB = AB - EF = 4. Notăm AE=xAE = x, atunci FB=4−xFB = 4 - x.
23 puncte
În triunghiurile dreptunghice ADFADF și BCEBCE, avem h2=AD2−AF2=36−x2h^2 = AD^2 - AF^2 = 36 - x^2 și h2=BC2−BE2=25−(4−x)2h^2 = BC^2 - BE^2 = 25 - (4-x)^2.
33 puncte
Egalăm: 36−x2=25−(16−8x+x2)=9+8x−x236 - x^2 = 25 - (16 - 8x + x^2) = 9 + 8x - x^2. Rezultă 36=9+8x36 = 9 + 8x, deci 8x=278x = 27, x=278x = \frac{27}{8}.
42 puncte
Unghiul ∠DAB\angle DAB are cos⁡∠DAB=AFAD=x6=916\cos \angle DAB = \frac{AF}{AD} = \frac{x}{6} = \frac{9}{16}, deci ∠DAB=arccos⁡(916)\angle DAB = \arccos\left(\frac{9}{16}\right). Unghiul ∠ABC\angle ABC are cos⁡∠ABC=BEBC=4−x5=18\cos \angle ABC = \frac{BE}{BC} = \frac{4-x}{5} = \frac{1}{8}, deci ∠ABC=arccos⁡(18)\angle ABC = \arccos\left(\frac{1}{8}\right). Înălțimea h=36−x2=1578h = \sqrt{36 - x^2} = \frac{15\sqrt{7}}{8}, iar aria este A=(AB+CD)⋅h2=157A = \frac{(AB+CD) \cdot h}{2} = 15\sqrt{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.