MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−2x+2)f(x) = e^{-x} (x^2 - 2x + 2). a) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem. b) Studiați convexitatea/concavitatea funcției pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=e−x(−x2+4x−4)=−e−x(x−2)2f'(x) = e^{-x}(-x^2 + 4x - 4) = -e^{-x}(x-2)^2.
23 puncte
Studiați semnul derivatei: f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, cu egalitate doar la x=2x=2. Deci funcția este descrescătoare pe R\mathbb{R}, iar x=2x=2 nu este punct de extrem (derivata nu schimbă semnul).
34 puncte
Pentru convexitate, calculați derivata a doua: f′′(x)=e−x(x2−6x+8)f''(x) = e^{-x}(x^2 - 6x + 8). Rezolvați f′′(x)=0f''(x)=0: x2−6x+8=0⇒x=2x^2 - 6x + 8=0 \Rightarrow x=2 sau x=4x=4. Studiați semnul: f′′(x)>0f''(x)>0 pentru x<2x<2 sau x>4x>4 (funcția este convexă), f′′(x)<0f''(x)<0 pentru 2<x<42<x<4 (funcția este concavă). Punctele x=2x=2 și x=4x=4 sunt puncte de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.