MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateȘiruri de numere realeStudiul funcțiilor
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa, folosind continuitatea funcției f(x)=2+xf(x) = \sqrt{2 + x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrați prin inducție că șirul este mărginit și monoton crescător. De exemplu, se arată că an<2a_n < 2 pentru toți nn (mărginire) și că an+1>ana_{n+1} > a_n (monotonie).
23 puncte
Deoarece șirul este mărginit și monoton, el este convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n.
33 puncte
Funcția f(x)=2+xf(x) = \sqrt{2 + x} este continuă pe [0,∞)[0, \infty). Prin continuitate, avem L=lim⁡n→∞an+1=lim⁡n→∞f(an)=f(L)L = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(L), deci L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Rezolvați ecuația: L=2+L⇒L2=2+L⇒L2−L−2=0⇒(L−2)(L+1)=0L = \sqrt{2 + L} \Rightarrow L^2 = 2 + L \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow (L-2)(L+1)=0. Cum L≥0L \geq 0, avem L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.