MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateLogaritmi
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x2ln⁡x−x22f(x) = x^2 \ln x - \frac{x^2}{2}. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff și determinați punctele de extrem și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=2xln⁡x+x2⋅1x−x=2xln⁡x+x−x=2xln⁡xf'(x) = 2x \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} - x = 2x \ln x + x - x = 2x \ln x. Derivata a doua: f′′(x)=2ln⁡x+2x⋅1x=2ln⁡x+2=2(ln⁡x+1)f''(x) = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2 = 2(\ln x + 1).
23 puncte
Rezolvați f′(x)=0f'(x) = 0: 2xln⁡x=02x \ln x = 0 dă x=1x = 1 (deoarece x>0x > 0). Rezolvați f′′(x)=0f''(x) = 0: 2(ln⁡x+1)=02(\ln x + 1) = 0 dă ln⁡x=−1\ln x = -1, deci x=e−1x = e^{-1}.
32 puncte
Studiați semnul: Pentru f′(x)f'(x): f′(x)>0f'(x) > 0 când ln⁡x>0\ln x > 0 adică x>1x > 1, și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru 0<x<10 < x < 1, deci ff este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1,\infty). Pentru f′′(x)f''(x): f′′(x)>0f''(x) > 0 când ln⁡x>−1\ln x > -1 adică x>e−1x > e^{-1}, și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru 0<x<e−10 < x < e^{-1}, deci ff este concavă pe (0,e−1](0, e^{-1}] și convexă pe [e−1,∞)[e^{-1}, \infty).
42 puncte
Punct de minim local la x=1x=1, f(1)=−12f(1) = -\frac{1}{2}. Punct de inflexiune la x=e−1x = e^{-1}, f(e−1)=e−2ln⁡e−1−e−22=−e−2−e−22=−32e2f(e^{-1}) = e^{-2} \ln e^{-1} - \frac{e^{-2}}{2} = -e^{-2} - \frac{e^{-2}}{2} = -\frac{3}{2e^{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.