MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiGeometrie AnaliticăVectori
În spațiul euclidian tridimensional, se consideră punctele A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0), C(0,0,3)C(0, 0, 3), D(1,1,1)D(1, 1, 1). Calculați volumul tetraedrului ABCDABCD folosind determinantul. Stabiliți dacă punctele A,B,C,DA, B, C, D sunt coplanare. Dacă nu sunt coplanare, determinați ecuația planului care trece prin punctele A,B,CA, B, C folosind determinantul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Volumul tetraedrului este V=16∣det⁡(AB⃗,AC⃗,AD⃗)∣V = \frac{1}{6} | \det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) |. Vectorii: AB⃗=(−1,2,0)\vec{AB} = (-1, 2, 0), AC⃗=(−1,0,3)\vec{AC} = (-1, 0, 3), AD⃗=(0,1,1)\vec{AD} = (0, 1, 1). Determinantul ∣−120−103011∣=−1⋅(0⋅1−3⋅1)−2⋅(−1⋅1−3⋅0)+0⋅(−1⋅1−0⋅0)=−1⋅(−3)−2⋅(−1)=3+2=5\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (-1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) + 0 \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1 \cdot (-3) - 2 \cdot (-1) = 3 + 2 = 5. Deci V=16⋅5=56V = \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{5}{6}.
23 puncte
Deoarece V≠0V \neq 0, punctele nu sunt coplanare.
33 puncte
Ecuația planului ABCABC: ∣x−1y−0z−00−12−00−00−10−03−0∣=0\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 0 \\ 0 - 1 & 2 - 0 & 0 - 0 \\ 0 - 1 & 0 - 0 & 3 - 0 \end{vmatrix} = 0, adică ∣x−1yz−120−103∣=0\begin{vmatrix} x - 1 & y & z \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 0. Dezvoltând, se obține: (x−1)(6−0)−y(−3−0)+z(0−(−2))=0⇒6(x−1)+3y+2z=0⇒6x+3y+2z−6=0(x-1)(6 - 0) - y(-3 - 0) + z(0 - (-2)) = 0 \Rightarrow 6(x-1) + 3y + 2z = 0 \Rightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.