MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea A=(1230m111m)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați mm astfel încât determinantul matricei AA să fie egal cu 00. Pentru m=2m=2, rezolvați sistemul liniar A⋅(xyz)=(101)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculăm determinantul matricei AA: det⁡A=∣1230m111m∣=1⋅∣m11m∣−2⋅∣011m∣+3⋅∣0m11∣=1⋅(m2−1)−2⋅(0⋅m−1⋅1)+3⋅(0⋅1−m⋅1)=m2−1+2−3m=m2−3m+1\det A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & m \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (m^2 - 1) - 2 \cdot (0 \cdot m - 1 \cdot 1) + 3 \cdot (0 \cdot 1 - m \cdot 1) = m^2 - 1 + 2 - 3m = m^2 - 3m + 1. Setăm det⁡A=0\det A = 0, deci m2−3m+1=0m^2 - 3m + 1 = 0, cu soluțiile m1,2=3±52m_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.
26 puncte
Pentru m=2m=2, matricea devine A=(123021112)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} și sistemul este {x+2y+3z=12y+z=0x+y+2z=1\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2y + z = 0 \\ x + y + 2z = 1 \end{cases}. Din a doua ecuație, z=−2yz = -2y. Înlocuim în prima și a treia: prima devine x+2y+3(−2y)=x−4y=1x + 2y + 3(-2y) = x - 4y = 1, iar a treia devine x+y+2(−2y)=x−3y=1x + y + 2(-2y) = x - 3y = 1. Scăzând, obținem −y=0-y = 0, deci y=0y=0. Atunci z=0z=0 și din x−3⋅0=1x - 3 \cdot 0 = 1 rezultă x=1x=1. Soluția este (1,0,0)(1,0,0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.