MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie f:R∖{0,2}→Rf: \mathbb{R}\setminus\{0,2\}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+1x2−2xf(x)=\frac{x^2-3x+1}{x^2-2x}. a) Studiați monotonia funcției ff pe domeniul său de definiție. b) Determinați intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune ale funcției ff. c) Utilizând proprietățile de monotonie și convexitate, demonstrați că pentru orice x1,x2∈(0,2)x_1, x_2 \in (0,2) cu x1≠x2x_1 \neq x_2, are loc inegalitatea f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi f′(x)=2x2−2x−2(x2−2x)2f'(x)=\frac{2x^2-2x-2}{(x^2-2x)^2}, studierea semnului și stabilirea monotoniei: crescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0) și (1−2,0)(1-\sqrt{2},0); descrescătoare pe (0,1−2)(0,1-\sqrt{2}), (2,1+2)(2,1+\sqrt{2}) și (1+2,∞)(1+\sqrt{2},\infty).
24 puncte
Calculul derivatei a doua f′′(x)=2(3x2−6x+4)(x2−2x)3f''(x)=\frac{2(3x^2-6x+4)}{(x^2-2x)^3}, studierea semnului și determinarea convexității: convexă pe (−∞,0)(-\infty,0) și (2,∞)(2,\infty); concavă pe (0,2)(0,2); nu există puncte de inflexiune.
33 puncte
Datorită concavității pe (0,2)(0,2) (deoarece f′′(x)<0f''(x)<0 pe acest interval), funcția este concavă, ceea ce implică f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} pentru x1,x2∈(0,2)x_1, x_2 \in (0,2) distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.