MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăProgresii Geometrice
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu primul termen a1a_1 și rația r≠1r \neq 1. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, suma Sn=∑i=1naiS_n = \sum_{i=1}^{n} a_i verifică formula Sn=a11−rn1−rS_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică pentru n=1n=1: S1=a1=a11−r11−r=a11−r1−r=a1S_1 = a_1 = a_1 \frac{1-r^1}{1-r} = a_1 \frac{1-r}{1-r} = a_1, deci formula este corectă.
22 puncte
Se presupune că formula este adevărată pentru un n=kn=k, adică Sk=a11−rk1−rS_k = a_1 \frac{1-r^k}{1-r}.
36 puncte
Se demonstrează pentru n=k+1n=k+1: Sk+1=Sk+ak+1=a11−rk1−r+a1rk=a1(1−rk1−r+rk)=a11−rk+rk(1−r)1−r=a11−rk+rk−rk+11−r=a11−rk+11−rS_{k+1} = S_k + a_{k+1} = a_1 \frac{1-r^k}{1-r} + a_1 r^k = a_1 \left( \frac{1-r^k}{1-r} + r^k \right) = a_1 \frac{1-r^k + r^k(1-r)}{1-r} = a_1 \frac{1-r^k + r^k - r^{k+1}}{1-r} = a_1 \frac{1 - r^{k+1}}{1-r}, deci formula este adevărată pentru n=k+1n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.