MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmiFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive sistemul: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=5x2+y2=41\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 5 \\ x^2 + y^2 = 41 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosind proprietatea logaritmilor, log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)=5\log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(xy) = 5, deci xy=25=32xy = 2^5 = 32.
24 puncte
Sistemul devine {xy=32x2+y2=41\begin{cases} xy = 32 \\ x^2 + y^2 = 41 \end{cases}. Din identitatea x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy, avem (x+y)2=x2+y2+2xy=41+64=105(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 41 + 64 = 105, deci x+y=±105x+y = \pm \sqrt{105}.
33 puncte
Considerăm cazul x+y=105x+y = \sqrt{105} (pentru că x>0,y>0x>0, y>0, deci suma pozitivă). Atunci xx și yy sunt rădăcinile ecuației t2−105t+32=0t^2 - \sqrt{105} t + 32 = 0. Discriminantul este Δ=105−128=−23<0\Delta = 105 - 128 = -23 < 0, deci ecuația nu are soluții reale. Așadar, sistemul nu are soluții în mulțimea numerelor reale pozitive.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.