MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice număr complex zz, avem ∣z∣2=zzˉ|z|^2 = z \bar{z} și deduceți identitatea (z+zˉ)2=z2+zˉ2+2∣z∣2(z+\bar{z})^2 = z^2 + \bar{z}^2 + 2|z|^2. Apoi, determinați toate numerele complexe zz pentru care z2+zˉ2=0z^2 + \bar{z}^2 = 0 și ∣z∣=1|z| = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Demonstrați ∣z∣2=zzˉ|z|^2 = z \bar{z} folosind definiția z=x+iyz = x + iy, cu x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, și ∣z∣=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
22 puncte
Deduceți identitatea (z+zˉ)2=z2+zˉ2+2zzˉ=z2+zˉ2+2∣z∣2(z+\bar{z})^2 = z^2 + \bar{z}^2 + 2z\bar{z} = z^2 + \bar{z}^2 + 2|z|^2.
32 puncte
Din z2+zˉ2=0z^2 + \bar{z}^2 = 0 și ∣z∣=1|z| = 1, folosiți identitatea pentru a obține (z+zˉ)2=0+2=2(z+\bar{z})^2 = 0 + 2 = 2, deci z+zˉ=±2z+\bar{z} = \pm \sqrt{2}.
42 puncte
Notați z=x+iyz = x + iy; atunci z+zˉ=2xz+\bar{z} = 2x, deci x=±22x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}. Din ∣z∣=1|z| = 1, x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, deci y2=1−x2=12y^2 = 1 - x^2 = \frac{1}{2}, și y=±22y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.
51 punct
Soluțiile sunt toate combinațiile de semne: z=±22±i22z = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}, adică patru numere complexe distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.