MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 9

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareTrigonometrie
Rezolvați sistemul de ecuații neliniare: {sin⁡x+sin⁡y=1cos⁡x+cos⁡y=3\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x + \cos y = \sqrt{3} \end{cases} pentru x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm formulele de transformare a sumei în produs: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) și cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right). \
23 puncte
Notăm A=x+y2A = \frac{x+y}{2} și B=x−y2B = \frac{x-y}{2}. Sistemul devine {2sin⁡Acos⁡B=12cos⁡Acos⁡B=3\begin{cases} 2 \sin A \cos B = 1 \\ 2 \cos A \cos B = \sqrt{3} \end{cases}. \
33 puncte
Împărțim cele două ecuații (presupunând cos⁡B≠0\cos B \neq 0): sin⁡Acos⁡A=13\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{1}{\sqrt{3}}, deci tan⁡A=13\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}. În intervalul pentru AA (deoarece x,y∈[0,2π)x,y \in [0,2\pi), A∈[0,2π)A \in [0,2\pi)), avem A=π6A = \frac{\pi}{6} sau A=7π6A = \frac{7\pi}{6}. Din 2cos⁡Acos⁡B=32 \cos A \cos B = \sqrt{3}, pentru A=π6A = \frac{\pi}{6}, cos⁡A=32\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}, deci cos⁡B=1\cos B = 1, deci B=2kπB = 2k\pi; pentru A=7π6A = \frac{7\pi}{6}, cos⁡A=−32\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{2}, deci cos⁡B=−1\cos B = -1, deci B=π+2kπB = \pi + 2k\pi. Considerând B∈[−π,π)B \in [-\pi, \pi), obținem B=0B = 0 pentru A=π6A = \frac{\pi}{6} și B=πB = \pi sau B=−πB = -\pi pentru A=7π6A = \frac{7\pi}{6}. \
42 puncte
Revenim la xx și yy: x=A+Bx = A + B, y=A−By = A - B. Pentru A=π6A = \frac{\pi}{6}, B=0B = 0, obținem x=π6x = \frac{\pi}{6}, y=π6y = \frac{\pi}{6}. Pentru A=7π6A = \frac{7\pi}{6}, B=πB = \pi, obținem x=13π6x = \frac{13\pi}{6}, y=π6y = \frac{\pi}{6}; ajustând pentru [0,2π)[0,2\pi), x=π6x = \frac{\pi}{6}, y=π6y = \frac{\pi}{6} (similar pentru B=−πB = -\pi). Singura soluție este x=y=π6x = y = \frac{\pi}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.