MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n ≥ 1, are loc inegalitatea ∑k=1n1k2≤2−1n\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \leq 2 - \frac{1}{n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru n=1, avem ∑k=111k2=1\sum_{k=1}^{1} \frac{1}{k^2} = 1 și 2−11=12 - \frac{1}{1} = 1, deci 1≤11 \leq 1, adevărat.
23 puncte
Presupunem că pentru n=k, inegalitatea este adevărată, adică ∑i=1k1i2≤2−1k\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i^2} \leq 2 - \frac{1}{k}.
34 puncte
Pentru n=k+1, avem ∑i=1k+11i2=∑i=1k1i2+1(k+1)2≤2−1k+1(k+1)2\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2} = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}. Trebuie să arătăm că 2−1k+1(k+1)2≤2−1k+12 - \frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{k+1}. Simplificând, obținem −1k+1(k+1)2≤−1k+1-\frac{1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} \leq -\frac{1}{k+1}, sau 1(k+1)2≤1k−1k+1=1k(k+1)\frac{1}{(k+1)^2} \leq \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k(k+1)}. Acum, 1(k+1)2≤1k(k+1)\frac{1}{(k+1)^2} \leq \frac{1}{k(k+1)} este echivalent cu k(k+1)≤(k+1)2k(k+1) \leq (k+1)^2, adică k≤k+1k \leq k+1, ceea ce este adevărat. Deci inegalitatea este demonstrată.
41 punct
Prin principiul inducției matematice, inegalitatea este adevărată pentru orice n ≥ 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.