MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieGeometrie Analitică
Într-un sistem de coordonate carteziene, punctele A(0,0)A(0,0) și B(6,0)B(6,0) sunt vârfurile unui triunghi ABCABC. Se știe că ∠CAB=30∘\angle CAB = 30^{\circ} și ∠CBA=45∘\angle CBA = 45^{\circ}. Determinați coordonatele punctului CC, lungimea înălțimii din CC pe latura ABAB și aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiul ABCABC pentru a găsi lungimile ACAC și BCBC. Avem ABsin⁡C=ACsin⁡B=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}. Unghiul C=180∘−30∘−45∘=105∘C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}. Deci, sin⁡C=sin⁡105∘=sin⁡(60∘+45∘)=sin⁡60∘cos⁡45∘+cos⁡60∘sin⁡45∘=6+24\sin C = \sin 105^{\circ} = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \sin 60^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. Atunci, AC=AB⋅sin⁡Bsin⁡C=6⋅sin⁡45∘sin⁡105∘=6⋅226+24=32⋅46+2=1226+2AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}. Rationalizând, AC=6(3−1)AC = 6(\sqrt{3} - 1). Similar, BC=AB⋅sin⁡Asin⁡C=6⋅sin⁡30∘sin⁡105∘=6⋅126+24=3⋅46+2=126+2=3(6−2)BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 30^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 3(\sqrt{6} - \sqrt{2}). |
23 puncte
Plasăm punctul CC folosind coordonatele. Fie C(x,y)C(x,y). Din ∠CAB=30∘\angle CAB = 30^{\circ}, avem că dreapta ACAC face un unghi de 30∘30^{\circ} cu axa OxOx, deci panta este tan⁡30∘=13\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}. Ecuația dreptei ACAC: y=13xy = \frac{1}{\sqrt{3}} x. Din ∠CBA=45∘\angle CBA = 45^{\circ}, dreapta BCBC face un unghi de 135∘135^{\circ} cu axa OxOx (sau 45∘45^{\circ} față de direcția negativă a axei OxOx), deci panta este tan⁡135∘=−1\tan 135^{\circ} = -1. Ecuația dreptei BCBC: y=−1(x−6)=−x+6y = -1(x - 6) = -x + 6. |
32 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații pentru a găsi coordonatele lui CC. {y=13xy=−x+6\begin{cases} y = \frac{1}{\sqrt{3}} x \\ y = -x + 6 \end{cases}. Înlocuind: 13x=−x+6⇒x(13+1)=6⇒x=61+13=633+1=33(3−1)=9−33\frac{1}{\sqrt{3}} x = -x + 6 \Rightarrow x \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 \right) = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = 3\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = 9 - 3\sqrt{3}. Atunci y=13x=13(9−33)=33−3y = \frac{1}{\sqrt{3}} x = \frac{1}{\sqrt{3}} (9 - 3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 3. Deci C(9−33,33−3)C(9 - 3\sqrt{3}, 3\sqrt{3} - 3). |
42 puncte
Calculăm înălțimea din CC pe ABAB. Deoarece ABAB este pe axa OxOx de la (0,0)(0,0) la (6,0)(6,0), înălțimea este ordonata lui CC, adică h=33−3h = 3\sqrt{3} - 3. Aria triunghiului: A=AB⋅h2=6⋅(33−3)2=93−9A = \frac{AB \cdot h}{2} = \frac{6 \cdot (3\sqrt{3} - 3)}{2} = 9\sqrt{3} - 9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.