MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere Complexe
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 numere complexe astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1 și z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0. Arătați că determinantul D=∣z1z2z3z1‾z2‾z3‾111∣D = \begin{vmatrix} z_1 & z_2 & z_3 \\ \overline{z_1} & \overline{z_2} & \overline{z_3} \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} este un număr imaginar pur și calculați ∣D∣|D|.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați conjugatul determinantului D‾\overline{D} folosind proprietățile determinanților și ale numerelor complexe, obținând D‾=−D\overline{D} = -D.
21 punct
Din D‾=−D\overline{D} = -D, deduceți că DD este imaginar pur.
34 puncte
Exprimați DD explicit: D=z1(z2‾−z3‾)−z2(z1‾−z3‾)+z3(z1‾−z2‾)D = z_1(\overline{z_2} - \overline{z_3}) - z_2(\overline{z_1} - \overline{z_3}) + z_3(\overline{z_1} - \overline{z_2}). Utilizați ∣zi∣=1|z_i|=1 pentru a scrie zi‾=1zi\overline{z_i} = \frac{1}{z_i} și condiția z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0 pentru a simplifica, obținând ∣D∣2=D⋅D‾=−D2|D|^2 = D \cdot \overline{D} = -D^2. Calculați D2D^2 folosind identități algebrice.
42 puncte
Determinați ∣D∣=33|D| = 3\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.