MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x(x2−4x+5)f(x) = e^{-x} (x^2 - 4x + 5). a) Studiați monotonia funcției ff. b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției ff. c) Demonstrați că f(x)>0f(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=−e−x(x−3)2f'(x) = -e^{-x} (x-3)^2. Deoarece e−x>0e^{-x} > 0 și (x−3)2≥0(x-3)^2 \geq 0, avem f′(x)≤0f'(x) \leq 0 pentru orice xx, cu egalitate doar la x=3x=3. Astfel, ff este descrescătoare pe R\mathbb{R} (strict descrescătoare pe intervale, cu punct critic la x=3x=3).
24 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=e−x(x−3)(x−5)f''(x) = e^{-x} (x-3)(x-5). Semnul lui f′′(x)f''(x) depinde de (x−3)(x−5)(x-3)(x-5). Pentru x<3x < 3, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff convexă; pentru 3<x<53 < x < 5, f′′(x)<0f''(x) < 0, deci ff concavă; pentru x>5x > 5, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci ff convexă. Punctele de inflexiune sunt la x=3x=3 și x=5x=5.
32 puncte
f(x)=e−x(x2−4x+5)f(x) = e^{-x} (x^2 - 4x + 5). Observăm că x2−4x+5=(x−2)2+1>0x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, iar e−x>0e^{-x} > 0. Prin urmare, f(x)>0f(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.