MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}, unde aa este un parametru real. Discutați sistemul în funcție de aa și determinați soluțiile în cazurile posibile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem matricea coeficienților sistemului: A=(a111a111a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} și calculăm determinantul Δ=det⁡(A)\Delta = \det(A).
23 puncte
Δ=a⋅∣a11a∣−1⋅∣111a∣+1⋅∣1a11∣=a(a2−1)−(a−1)+(1−a)=a3−a−a+1+1−a=a3−3a+2\Delta = a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - (a - 1) + (1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2. Factorizăm: Δ=(a−1)2(a+2)\Delta = (a-1)^2(a+2).
33 puncte
Discuție: Dacă Δ≠0\Delta \neq 0, adică a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, sistemul are soluție unică. Aplicăm regula lui Cramer. Dacă Δ=0\Delta = 0, adică a=1a=1 sau a=−2a=-2, sistemul poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat.
42 puncte
Pentru a≠1a \neq 1 și a≠−2a \neq -2, soluția este x=ΔxΔx = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y=ΔyΔy = \frac{\Delta_y}{\Delta}, z=ΔzΔz = \frac{\Delta_z}{\Delta}, unde Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z se calculează înlocuind coloanele. Pentru a=1a=1, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \\ x+y+z=1 \end{cases}, deci compatibil nedeterminat cu soluția x=1−y−zx=1-y-z, y,z∈Ry,z \in \mathbb{R}. Pentru a=−2a=-2, sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=−2x+y−2z=4\begin{cases} -2x+y+z=1 \\ x-2y+z=-2 \\ x+y-2z=4 \end{cases}; se verifică că este incompatibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.