MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateȘiruri de numere reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={ekx−1xdaca˘ x≠02daca˘ x=0f(x) = \begin{cases} \frac{e^{kx} - 1}{x} & \text{dacă } x \neq 0 \\ 2 & \text{dacă } x = 0 \end{cases}, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Să se determine kk astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R}. b) Pentru valoarea lui kk găsită, să se calculeze lim⁡n→∞n⋅f(1n)\lim_{n \to \infty} n \cdot f\left(\frac{1}{n}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Pentru continuitate în x=0x=0, trebuie ca lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim_{x \to 0} f(x) = f(0). Calculăm lim⁡x→0ekx−1x=k\lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - 1}{x} = k folosind limita remarcabilă lim⁡u→0eu−1u=1\lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = 1. Deci k=2k = 2 pentru ca f(0)=2f(0)=2.
26 puncte
Pentru k=2k=2, f(x)=e2x−1xf(x) = \frac{e^{2x} - 1}{x} pentru x≠0x \neq 0. Atunci n⋅f(1n)=n⋅e2/n−11/n=n2(e2/n−1)n \cdot f\left(\frac{1}{n}\right) = n \cdot \frac{e^{2/n} - 1}{1/n} = n^2 (e^{2/n} - 1). Folosim dezvoltarea e2/n−1=2n+2n2+o(1/n2)e^{2/n} - 1 = \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2} + o(1/n^2) pentru n→∞n \to \infty. Așadar, n2(e2/n−1)=2n+2+o(1)n^2 (e^{2/n} - 1) = 2n + 2 + o(1), deci lim⁡n→∞n⋅f(1n)=lim⁡n→∞(2n+2+o(1))=+∞\lim_{n \to \infty} n \cdot f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} (2n + 2 + o(1)) = +\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.