MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDerivate
Se consideră funcția f:R∖{−2,2}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \to \mathbb{R}, f(x)=2x3−x2+1x2−4f(x) = \frac{2x^3 - x^2 + 1}{x^2 - 4}. Să se determine asimptotele funcției și să se studieze intervalele de monotonie ale acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: Df=R∖{−2,2}D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} și a asimptotelor verticale prin calculul limitelor lim⁡x→−2f(x)\lim_{x \to -2} f(x) și lim⁡x→2f(x)\lim_{x \to 2} f(x), obținându-se asimptote verticale la x=−2x = -2 și x=2x = 2.
23 puncte
Determinarea asimptotei oblice: se calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞2x3−x2+1x(x2−4)=2m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^3 - x^2 + 1}{x(x^2 - 4)} = 2 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−2x)=lim⁡x→±∞2x3−x2+1−2x(x2−4)x2−4=lim⁡x→±∞−x2+8x+1x2−4=−1n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^3 - x^2 + 1 - 2x(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x^2 + 8x + 1}{x^2 - 4} = -1, deci asimptota oblică este y=2x−1y = 2x - 1.
33 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=(6x2−2x)(x2−4)−(2x3−x2+1)(2x)(x2−4)2=2x(x3−12x+3)(x2−4)2f'(x) = \frac{(6x^2 - 2x)(x^2 - 4) - (2x^3 - x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x(x^3 - 12x + 3)}{(x^2 - 4)^2}. Studiul semnului lui f′(x)f'(x) pentru a determina intervalele de monotonie: se analizează semnul numărătorului și numitorului.
42 puncte
Concluzii: funcția are asimptote verticale la x=−2x = -2 și x=2x = 2, asimptotă oblică y=2x−1y = 2x - 1, iar monotonia se deduce din semnul derivatei întâi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.