MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteLogaritmiContinuitate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x)+1xf(x) = \ln(x) + \frac{1}{x}. Determinați asimptotele funcției ff și discutați continuitatea acesteia în punctul x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Determinarea domeniului: (0,∞)(0, \infty). Calculul limitei la x→0+x \to 0^+: lim⁡x→0+ln⁡(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty și lim⁡x→0+1x=+∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty, dar ln⁡(x)\ln(x) domină, deci lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty. Asimptotă verticală: x=0x=0. Calculul limitei la x→∞x \to \infty: lim⁡x→∞ln⁡(x)=∞\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty și lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0, deci lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty. Nu există asimptotă orizontală. Verificarea pentru asimptotă oblică: lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞ln⁡(x)x+1x2=0\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} + \frac{1}{x^2} = 0, deci nu există asimptotă oblică.
25 puncte
Discuția continuității: Funcția ff este continuă pe (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡(x)\ln(x) și 1x\frac{1}{x} sunt continue pe acest interval. În punctul x=0x=0, funcția nu este definită, deci nu se poate vorbi de continuitate; există discontinuitate de speța a doua datorită asimptotei verticale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.