MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Studiați monotonia și convexitatea funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, definită prin f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Determinați intervalele pe care funcția este crescătoare, descrescătoare, convexă sau concavă, precum și punctele de extrem local și de inflexiune, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}.
23 puncte
Studiați semnul derivatei întâi: f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=0x=0; f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<0x < 0 și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>0x > 0. Astfel, funcția este crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0] și descrescătoare pe [0,∞)[0, \infty), cu punct de maxim în x=0x=0.
32 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2}.
43 puncte
Studiați semnul derivatei a doua: f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=±12x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}; f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x<−12x < -\frac{1}{\sqrt{2}} sau x>12x > \frac{1}{\sqrt{2}} (funcția este convexă), și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru −12<x<12-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}} (funcția este concavă). Punctele de inflexiune sunt la x=±12x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.