MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareNumere Complexe
Rezolvați în mulțimea numerelor complexe sistemul de ecuații liniare: {(1+i)x+(2−i)y=3+4i(3−2i)x+(1+2i)y=5−i\begin{cases} (1+i)x + (2-i)y = 3+4i \\ (3-2i)x + (1+2i)y = 5-i \end{cases} și exprimați soluțiile în forma a+bia+bi.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm coeficienții: a11=1+ia_{11} = 1+i, a12=2−ia_{12} = 2-i, a21=3−2ia_{21} = 3-2i, a22=1+2ia_{22} = 1+2i, și termenii liberi: b1=3+4ib_1 = 3+4i, b2=5−ib_2 = 5-i.
23 puncte
Calculăm determinantul sistemului: Δ=∣1+i2−i3−2i1+2i∣=(1+i)(1+2i)−(2−i)(3−2i)=−5+10i\Delta = \begin{vmatrix} 1+i & 2-i \\ 3-2i & 1+2i \end{vmatrix} = (1+i)(1+2i) - (2-i)(3-2i) = -5+10i.
33 puncte
Calculăm determinanții pentru xx și yy: Δx=∣3+4i2−i5−i1+2i∣=−14+17i\Delta_x = \begin{vmatrix} 3+4i & 2-i \\ 5-i & 1+2i \end{vmatrix} = -14+17i, Δy=∣1+i3+4i3−2i5−i∣=−11−2i\Delta_y = \begin{vmatrix} 1+i & 3+4i \\ 3-2i & 5-i \end{vmatrix} = -11-2i.
42 puncte
Obținem soluțiile: x=ΔxΔ=−14+17i−5+10ix = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-14+17i}{-5+10i} și y=ΔyΔ=−11−2i−5+10iy = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-11-2i}{-5+10i}. Simplificăm fiecare fracție prin înmulțire cu conjugatul numitorului: x=(−14+17i)(−5−10i)(−5+10i)(−5−10i)=70+140i−85i−170i225+100=240+55i125=4825+1125ix = \frac{(-14+17i)(-5-10i)}{(-5+10i)(-5-10i)} = \frac{70+140i-85i-170i^2}{25+100} = \frac{240+55i}{125} = \frac{48}{25} + \frac{11}{25}i, y=(−11−2i)(−5−10i)(−5+10i)(−5−10i)=55+110i+10i+20i2125=35+120i125=725+2425iy = \frac{(-11-2i)(-5-10i)}{(-5+10i)(-5-10i)} = \frac{55+110i+10i+20i^2}{125} = \frac{35+120i}{125} = \frac{7}{25} + \frac{24}{25}i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.