MediuIdentități algebriceClasa 10

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceNumere ComplexeTrigonometrie
Se consideră numărul complex z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, unde θ∈R\theta \in \mathbb{R}. Folosind identitatea algebrică (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3, demonstrați că z3+1z3=2cos⁡3θz^3 + \frac{1}{z^3} = 2\cos 3\theta. Apoi, determinați toate valorile lui θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi) pentru care z3+1z3=1z^3 + \frac{1}{z^3} = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Conform formulei lui Moivre, z3=(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+isin⁡3θz^3 = (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta. De asemenea, 1z3=1cos⁡3θ+isin⁡3θ=cos⁡3θ−isin⁡3θ\frac{1}{z^3} = \frac{1}{\cos 3\theta + i \sin 3\theta} = \cos 3\theta - i \sin 3\theta, deoarece 1cos⁡ϕ+isin⁡ϕ=cos⁡ϕ−isin⁡ϕ\frac{1}{\cos \phi + i \sin \phi} = \cos \phi - i \sin \phi. \newline
23 puncte
Aplicăm identitatea algebrică: notăm a=za=z, b=1zb=\frac{1}{z}. Atunci z3+1z3=(z+1z)(z2−z⋅1z+1z2)=(z+1z)(z2−1+1z2)z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2 - z\cdot\frac{1}{z} + \frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(z^2 -1 + \frac{1}{z^2}). Dar z+1z=(cos⁡θ+isin⁡θ)+(cos⁡θ−isin⁡θ)=2cos⁡θz+\frac{1}{z} = (\cos\theta+i\sin\theta)+(\cos\theta-i\sin\theta)=2\cos\theta, și z2+1z2=2cos⁡2θz^2+\frac{1}{z^2}=2\cos2\theta (similar). Deci z3+1z3=2cos⁡θ(2cos⁡2θ−1)z^3+\frac{1}{z^3}=2\cos\theta(2\cos2\theta -1). Folosind cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1\cos2\theta=2\cos^2\theta-1, obținem z3+1z3=2cos⁡θ(4cos⁡2θ−3)=2(4cos⁡3θ−3cos⁡θ)=2cos⁡3θz^3+\frac{1}{z^3}=2\cos\theta(4\cos^2\theta-3)=2(4\cos^3\theta-3\cos\theta)=2\cos3\theta. \newline
33 puncte
Ecuația z3+1z3=1z^3+\frac{1}{z^3}=1 devine 2cos⁡3θ=12\cos3\theta=1, adică cos⁡3θ=12\cos3\theta=\frac{1}{2}. Soluțiile sunt 3θ=±π3+2kπ3\theta = \pm\frac{\pi}{3}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Pentru θ∈[0,2π)\theta\in[0,2\pi), avem θ=π9+2kπ3\theta = \frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3} sau θ=−π9+2kπ3\theta = -\frac{\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}. Calculând: θ∈{π9,7π9,13π9,5π9,11π9,17π9}\theta \in \left\{ \frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{11\pi}{9}, \frac{17\pi}{9} \right\}, dar 17π9>2π\frac{17\pi}{9} > 2\pi, deci excludem. Valorile finale: θ∈{π9,5π9,7π9,11π9,13π9}\theta \in \left\{ \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{11\pi}{9}, \frac{13\pi}{9} \right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.