MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Costul total al producției a xx unități dintr-un produs este dat de funcția C(x)=0.1x3−1.5x2+9x+15C(x) = 0.1x^3 - 1.5x^2 + 9x + 15, pentru x≥0x \geq 0. a) Studiați monotonia funcției cost marginal Cm(x)=C′(x)C_m(x) = C'(x). b) Determinați intervalele de convexitate ale funcției cost total C(x)C(x). c) La ce nivel al producției costul marginal este minim și care este valoarea acestuia?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculăm costul marginal: Cm(x)=C′(x)=0.3x2−3x+9C_m(x) = C'(x) = 0.3x^2 - 3x + 9. Derivata lui CmC_m este Cm′(x)=0.6x−3C_m'(x) = 0.6x - 3. Setăm Cm′(x)=0C_m'(x) = 0 și obținem x=5x = 5. Pentru x<5x < 5, Cm′(x)<0C_m'(x) < 0, deci CmC_m este descrescătoare; pentru x>5x > 5, Cm′(x)>0C_m'(x) > 0, deci CmC_m este crescătoare.
23 puncte
Convexitatea lui C(x)C(x) este dată de semnul derivatei a doua: C′′(x)=Cm′(x)=0.6x−3C''(x) = C_m'(x) = 0.6x - 3. Astfel, pentru x<5x < 5, C′′(x)<0C''(x) < 0, deci CC este concavă; pentru x>5x > 5, C′′(x)>0C''(x) > 0, deci CC este convexă; punct de inflexiune la x=5x=5.
33 puncte
Din studiul monotoniei lui CmC_m, minimul costului marginal este atins la x=5x=5. Valoarea minimă este Cm(5)=0.3⋅25−3⋅5+9=7.5−15+9=1.5C_m(5) = 0.3 \cdot 25 - 3 \cdot 5 + 9 = 7.5 - 15 + 9 = 1.5. Deci, costul marginal minim este 1.51.5 la producția de 55 unități.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.