MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−2xx2−1f(x) = \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1}. Determinați asimptotele funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} și identificarea punctelor de discontinuitate x=−1x = -1 și x=1x = 1.
23 puncte
Pentru x=−1x = -1, calculul limitei lim⁡x→−1f(x)=lim⁡x→−1x(x2−2)(x−1)(x+1)=−1⋅(−1)−2⋅0+=+∞\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x(x^2-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{-1 \cdot (-1)}{-2 \cdot 0^+} = +\infty (semnul depinde de direcție), dar factorul (x+1)(x+1) nu se simplifică complet; de fapt, limita este infinită, deci x=−1x=-1 este asimptotă verticală. Pentru x=1x=1, lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1x(x2−2)(x−1)(x+1)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x(x^2-2)}{(x-1)(x+1)} = \infty, deci x=1x=1 este asimptotă verticală.
35 puncte
Pentru asimptote la infinit: deoarece gradul numărătorului este mai mare decât al numitorului, se caută asimptotă oblică. Calculul m=lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x3−2xx(x2−1)=lim⁡x→±∞x3−2xx3−x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 2x}{x(x^2-1)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 2x}{x^3 - x} = 1. Apoi, n=lim⁡x→±∞[f(x)−x]=lim⁡x→±∞(x3−2xx2−1−x)=lim⁡x→±∞x3−2x−x(x2−1)x2−1=lim⁡x→±∞−xx2−1=0n = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{x^3 - 2x}{x^2 - 1} - x \right) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 2x - x(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-x}{x^2 - 1} = 0. Astfel, asimptota oblică este y=xy=x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.