MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Să se studieze monotonia și convexitatea funcției f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 și să se determine punctele de extrem și de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
22 puncte
Determinarea punctelor critice: f′(x)=0⇒3x(x−2)=0⇒x=0f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(x-2) = 0 \Rightarrow x=0 sau x=2x=2.
32 puncte
Studiul semnului lui f′(x)f'(x) pe intervale. Pentru x<0x < 0, f′(x)>0f'(x) > 0 (de exemplu, x=−1x=-1, f′(−1)=9>0f'(-1)=9>0), deci ff crescătoare pe (−∞,0](-\infty, 0]. Pentru x∈(0,2)x \in (0,2), f′(x)<0f'(x) < 0 (de exemplu, x=1x=1, f′(1)=−3<0f'(1)=-3<0), deci ff descrescătoare pe [0,2][0,2]. Pentru x>2x > 2, f′(x)>0f'(x) > 0 (de exemplu, x=3x=3, f′(3)=9>0f'(3)=9>0), deci ff crescătoare pe [2,∞)[2, \infty). Astfel, x=0x=0 este punct de maxim local, x=2x=2 este punct de minim local.
41 punct
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6.
51 punct
Determinarea punctelor de inflexiune: f′′(x)=0⇒6x−6=0⇒x=1f''(x) = 0 \Rightarrow 6x - 6 = 0 \Rightarrow x=1.
62 puncte
Studiul convexității. Pentru x<1x < 1, f′′(x)<0f''(x) < 0 (de exemplu, x=0x=0, f′′(0)=−6<0f''(0)=-6<0), deci ff concavă pe (−∞,1](-\infty, 1]. Pentru x>1x > 1, f′′(x)>0f''(x) > 0 (de exemplu, x=2x=2, f′′(2)=6>0f''(2)=6>0), deci ff convexă pe [1,∞)[1, \infty). Punctul x=1x=1 este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.