MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateEcuații exponentiale
Fie f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem, intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune. Apoi, folosind proprietățile de monotonie, arătați că pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, f(x)≤1f(x) \leq 1, iar folosind convexitatea, demonstrați că f(x+y2)≥f(x)f(y)f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \sqrt{f(x)f(y)} pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2xe^{-x^2}. Derivata a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2)e^{-x^2}.
22 puncte
Studiem monotonia: f′(x)=0⇔x=0f'(x)=0 \Leftrightarrow x=0. Pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x)>0, deci ff crescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0); pentru x>0x>0, f′(x)<0f'(x)<0, deci ff descrescătoare pe (0,∞)(0,\infty). x=0x=0 este punct de maxim global, f(0)=1f(0)=1.
32 puncte
Studiem convexitatea: f′′(x)=0⇔4x2−2=0⇔x=±12f''(x)=0 \Leftrightarrow 4x^2-2=0 \Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}. Semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x∈(−∞,−12)∪(12,∞)x \in \left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\infty\right), f′′(x)>0f''(x)>0, deci ff convexă; pentru x∈(−12,12)x \in \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right), f′′(x)<0f''(x)<0, deci ff concavă. Punctele x=±12x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}} sunt puncte de inflexiune.
42 puncte
Din monotonia funcției și faptul că f(0)=1f(0)=1 este maxim, rezultă că pentru orice xx, f(x)≤1f(x) \leq 1.
52 puncte
Pentru convexitatea/concavitatea, funcția este convexă pe intervalele specificate și concavă pe intervalul central. Pentru a demonstra inegalitatea, folosim faptul că ln⁡f(x)=−x2\ln f(x) = -x^2 este o funcție concavă (deoarece −x2-x^2 este concavă). Atunci, ln⁡f(x+y2)≥ln⁡f(x)+ln⁡f(y)2\ln f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \frac{\ln f(x) + \ln f(y)}{2}, ceea ce este echivalent cu f(x+y2)≥f(x)f(y)f\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \sqrt{f(x)f(y)}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.