MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea A=(xyzyzxzxy)A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{pmatrix}, unde x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul det⁡(A)\det(A). b) Determinați condițiile asupra lui x,y,zx, y, z pentru care sistemul omogen A(XYZ)=(000)A \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} are soluții nenule. c) Demonstrați că dacă x+y+z=0x+y+z=0, atunci det⁡(A)=0\det(A)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie: det⁡(A)=x∣zxxy∣−y∣yxzy∣+z∣yzzx∣=x(zy−x2)−y(y2−xz)+z(yx−z2)=xyz−x3−y3+xyz+xyz−z3=3xyz−(x3+y3+z3)\det(A) = x \begin{vmatrix} z & x \\ x & y \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} y & x \\ z & y \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} y & z \\ z & x \end{vmatrix} = x(zy - x^2) - y(y^2 - xz) + z(yx - z^2) = xyz - x^3 - y^3 + xyz + xyz - z^3 = 3xyz - (x^3 + y^3 + z^3).\n
23 puncte
Sistemul omogen are soluții nenule dacă și numai dacă det⁡(A)=0\det(A)=0. Deci condiția este 3xyz−(x3+y3+z3)=03xyz - (x^3 + y^3 + z^3) = 0.\n
33 puncte
Folosind identitatea algebrică x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - xy - yz - zx), dacă x+y+z=0x+y+z=0, atunci x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz. Înlocuind în expresia determinantului, obținem det⁡(A)=3xyz−3xyz=0\det(A) = 3xyz - 3xyz = 0, deci determinantul este nul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.