MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareVectoriGeometrie Analitică
Se consideră vectorii a⃗=2i⃗−j⃗+k⃗\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, b⃗=i⃗+3j⃗−2k⃗\vec{b} = \vec{i} + 3\vec{j} - 2\vec{k}, și c⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{c} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}. Determinați numerele reale x,y,zx, y, z astfel încât vectorii a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} să fie liniar dependenți și, în plus, să verifice condițiile a⃗⋅c⃗=5\vec{a} \cdot \vec{c} = 5 și b⃗⋅c⃗=−1\vec{b} \cdot \vec{c} = -1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția de dependență liniară a vectorilor a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} implică că determinantul matricei formată din coordonatele lor este zero: ∣21x−13y1−2z∣=0\begin{vmatrix} 2 & 1 & x \\ -1 & 3 & y \\ 1 & -2 & z \end{vmatrix} = 0.
23 puncte
Calculăm determinantul: 2(3z+2y)−1((−1)z−1⋅y)+x((−1)(−2)−3⋅1)=6z+4y+z+y−x=7z+5y−x=02(3z + 2y) - 1((-1)z - 1 \cdot y) + x((-1)(-2) - 3 \cdot 1) = 6z + 4y + z + y - x = 7z + 5y - x = 0.
34 puncte
Folosim condițiile produselor scalare: a⃗⋅c⃗=2x−y+z=5\vec{a} \cdot \vec{c} = 2x - y + z = 5 și b⃗⋅c⃗=x+3y−2z=−1\vec{b} \cdot \vec{c} = x + 3y - 2z = -1. Obținem sistemul: {7z+5y−x=02x−y+z=5x+3y−2z=−1\begin{cases} 7z + 5y - x = 0 \\ 2x - y + z = 5 \\ x + 3y - 2z = -1 \end{cases}. Rezolvăm: din prima ecuație, x=7z+5yx = 7z + 5y. Înlocuim în celelalte: 2(7z+5y)−y+z=5⇒15z+9y=52(7z+5y) - y + z = 5 \Rightarrow 15z + 9y = 5 și (7z+5y)+3y−2z=−1⇒5z+8y=−1(7z+5y) + 3y - 2z = -1 \Rightarrow 5z + 8y = -1. Rezolvând {15z+9y=55z+8y=−1\begin{cases} 15z + 9y = 5 \\ 5z + 8y = -1 \end{cases}, găsim z=1z = 1, y=−1y = -1, apoi x=2x = 2. Verificăm că satisfac toate condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.