MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăNumere ComplexeTrigonometrie
Fie z=1+iz = 1 + i. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, zn=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)z^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: z1=1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)=21/2(cos⁡π4+isin⁡π4)z^1 = 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 2^{1/2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right), deci proprietatea este adevărată.
23 puncte
Presupunem că proprietatea este adevărată pentru n=kn=k, adică zk=2k/2(cos⁡kπ4+isin⁡kπ4)z^k = 2^{k/2} \left( \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4} \right).
35 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: zk+1=zk⋅z=2k/2(cos⁡kπ4+isin⁡kπ4)⋅21/2(cos⁡π4+isin⁡π4)=2(k+1)/2(cos⁡(kπ4+π4)+isin⁡(kπ4+π4))=2(k+1)/2(cos⁡(k+1)π4+isin⁡(k+1)π4)z^{k+1} = z^k \cdot z = 2^{k/2} \left( \cos \frac{k\pi}{4} + i \sin \frac{k\pi}{4} \right) \cdot 2^{1/2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 2^{(k+1)/2} \left( \cos \left( \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{k\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \right) = 2^{(k+1)/2} \left( \cos \frac{(k+1)\pi}{4} + i \sin \frac{(k+1)\pi}{4} \right), folosind formulele trigonometrice pentru produsul numerelor complexe în formă trigonometrică. Deci proprietatea este adevărată pentru n=k+1n=k+1. Prin principiul inducției matematice, formula este adevărată pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.