MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin g(x)={eax−1x,daca˘ x<0b,daca˘ x=0ln⁡(1+x)x,daca˘ x>0g(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x}, & \text{dacă } x < 0 \\ b, & \text{dacă } x = 0 \\ \frac{\ln(1+x)}{x}, & \text{dacă } x > 0 \end{cases}. Să se determine a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} astfel încât gg să fie continuă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condiția de continuitate în x=0x=0: lim⁡x→0−g(x)=lim⁡x→0+g(x)=g(0)=b\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0) = b.
23 puncte
Calculează lim⁡x→0−g(x)=lim⁡x→0−eax−1x\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{ax} - 1}{x}. Folosind schimbarea t=axt = ax, avem lim⁡x→0−eax−1x=lim⁡t→0et−1t/a=a⋅lim⁡t→0et−1t=a⋅1=a\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{ax} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t/a} = a \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = a \cdot 1 = a (deoarece lim⁡t→0et−1t=1\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1).
32 puncte
Calculează lim⁡x→0+g(x)=lim⁡x→0+ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 (limita cunoscută).
42 puncte
Egalează: a=1a = 1 și b=1b = 1. Deci a=1a=1, b=1b=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.