MediuVectoriClasa 11

Problemă rezolvată de Vectori

MediuVectoriSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se consideră vectorii v1⃗=(1,2,3)\vec{v_1} = (1,2,3), v2⃗=(2,5,7)\vec{v_2} = (2,5,7) și v3⃗=(1,3,5)\vec{v_3} = (1,3,5). a) Studiați independența liniară a acestor vectori. b) Exprimați vectorul b⃗=(4,10,14)\vec{b} = (4,10,14) ca o combinație liniară a vectorilor v1⃗,v2⃗,v3⃗\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}. c) Rezolvați sistemul de ecuații asociat.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru independența liniară, se calculează determinantul matricei formate din componentele vectorilor: ∣121253375∣=1⋅(5⋅5−3⋅7)−2⋅(2⋅5−3⋅1)+1⋅(2⋅7−5⋅3)=1⋅(25−21)−2⋅(10−3)+1⋅(14−15)=4−14−1=−11≠0\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 5 - 3 \cdot 7) - 2 \cdot (2 \cdot 5 - 3 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 7 - 5 \cdot 3) = 1 \cdot (25-21) - 2 \cdot (10-3) + 1 \cdot (14-15) = 4 - 14 -1 = -11 \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți.
24 puncte
Se caută scalarii α,β,γ\alpha, \beta, \gamma astfel încât αv1⃗+βv2⃗+γv3⃗=b⃗\alpha \vec{v_1} + \beta \vec{v_2} + \gamma \vec{v_3} = \vec{b}. Aceasta conduce la sistemul: {α+2β+γ=42α+5β+3γ=103α+7β+5γ=14\begin{cases} \alpha + 2\beta + \gamma = 4 \\ 2\alpha + 5\beta + 3\gamma = 10 \\ 3\alpha + 7\beta + 5\gamma = 14 \end{cases}. Rezolvând, se obține α=2,β=1,γ=0\alpha = 2, \beta = 1, \gamma = 0.
32 puncte
Prin urmare, b⃗=2v1⃗+1v2⃗+0v3⃗\vec{b} = 2\vec{v_1} + 1\vec{v_2} + 0\vec{v_3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Vectori

Mediu#1VectoriGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Punctul N se află pe malul unui râu lat de 11 km, iar viteza curentului este 11 km/h. Punctul M este pe malul opus, la cel puțin 33 km în aval față de N; distanța de-a lungul râului dintre M și N este s≥3s\ge3 km. Un pescar pleacă din M și merge pe mal spre N cu 4 km/h. În același timp, un barcagiu pleacă din N, traversează râul pe o dreaptă până îl găsește pe pescar și îl duce înapoi la N pe aceeași dreaptă. Barcagiu vâslește într-o apă curgătoare cu viteza în apă liniștită 44 km/h, iar durata totală a drumului până la întâlnire și întoarcerea la N este 9/89/8 h. Determinați distanța ss dintre M și N măsurată de-a lungul râului.
Ușor#2VectoriGeometrie Analitică
Fie punctele A(1,1)A(1,1), B(4,5)B(4,5), C(7,1)C(7,1). a) Calculați vectorii AB⃗\vec{AB} și AC⃗\vec{AC}. b) Arătați că ∣AB⃗∣=∣BC⃗∣|\vec{AB}| = |\vec{BC}|. c) Determinați aria triunghiului ABCABC.
Ușor#3VectoriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie vectorii u⃗=2i⃗−3j⃗\vec{u} = 2\vec{i} - 3\vec{j} și v⃗=−i⃗+4j⃗\vec{v} = -\vec{i} + 4\vec{j}. a) Calculați u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} și u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}. b) Exprimați acești vectori ca numere complexe zuz_u și zvz_v și verificați că zu+zvz_u + z_v corespunde cu u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}. c) Aflați argumentul principal al lui zuz_u.
Ușor#4VectoriGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie vectorii a⃗=2i⃗+3j⃗\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j}, b⃗=−i⃗+4j⃗\vec{b} = -\vec{i} + 4\vec{j} și c⃗=ki⃗+j⃗\vec{c} = k\vec{i} + \vec{j}. Determinați valoarea lui kk pentru care vectorii a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b} și c⃗\vec{c} sunt perpendiculari. Apoi, calculați aria triunghiului format de vectorii a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} și originea sistemului de coordonate.
Vezi toate problemele de Vectori →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Vectori cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.