MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}. Demonstrați că funcția este impară. Determinați valoarea maximă a funcției pe R\mathbb{R} și găsiți punctele de inflexiune ale acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătăm că f(−x)=−x(−x)2+1=−xx2+1=−f(x)f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x}{x^2+1} = -f(x), deci funcția este impară.
23 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.
32 puncte
Rezolvăm f′(x)=0f'(x)=0: 1−x2=0⇒x=±11-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1. Analizăm semnul: f′(x)>0f'(x)>0 pentru x∈(−1,1)x\in(-1,1), deci ff crescătoare; f′(x)<0f'(x)<0 pentru x<−1x<-1 sau x>1x>1, deci descrescătoare. Maximul este atins la x=1x=1, cu f(1)=12f(1)=\frac{1}{2}.
43 puncte
Calculăm derivata a doua: f′′(x)=−2x(x2+1)2−(1−x2)⋅2(x2+1)⋅2x(x2+1)4=2x(x2−3)(x2+1)3f''(x) = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2) \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}. Rezolvăm f′′(x)=0f''(x)=0: x=0x=0 sau x=±3x=\pm\sqrt{3}. Verificăm schimbarea de concavitate: pentru x<−3x<-\sqrt{3}, f′′(x)<0f''(x)<0; pentru −3<x<0-\sqrt{3}<x<0, f′′(x)>0f''(x)>0; pentru 0<x<30<x<\sqrt{3}, f′′(x)<0f''(x)<0; pentru x>3x>\sqrt{3}, f′′(x)>0f''(x)>0. Punctele de inflexiune sunt x=0,±3x=0, \pm\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.