MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateAplicații ale derivatelor
Demonstrați că dacă f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} este o funcție de două ori derivabilă cu f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, atunci pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, a<ba < b, are loc inegalitatea f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2}. Dați o interpretare geometrică a acestei inegalități în legătură cu convexitatea.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Aplicați teorema lui Lagrange pe intervalele [a,a+b2][a, \frac{a+b}{2}] și [a+b2,b][\frac{a+b}{2}, b]: există c1∈(a,a+b2)c_1 \in (a, \frac{a+b}{2}) și c2∈(a+b2,b)c_2 \in (\frac{a+b}{2}, b) astfel încât f(a+b2)−f(a)=f′(c1)⋅b−a2f(\frac{a+b}{2}) - f(a) = f'(c_1) \cdot \frac{b-a}{2} și f(b)−f(a+b2)=f′(c2)⋅b−a2f(b) - f(\frac{a+b}{2}) = f'(c_2) \cdot \frac{b-a}{2}.
24 puncte
Deoarece f′′>0f'' > 0, funcția f′f' este strict crescătoare (monotonie a derivatei întâi), deci f′(c1)<f′(c2)f'(c_1) < f'(c_2). Din cele două egalități, obțineți f(a+b2)−f(a)<f(b)−f(a+b2)f(\frac{a+b}{2}) - f(a) < f(b) - f(\frac{a+b}{2}), ceea ce implică 2f(a+b2)<f(a)+f(b)2f(\frac{a+b}{2}) < f(a) + f(b), sau f(a+b2)≤f(a)+f(b)2f(\frac{a+b}{2}) \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} (inegalitatea este strictă dacă f′′>0f''>0, dar enunțul acceptă și egalitatea pentru funcții liniare).
34 puncte
Interpretare geometrică: inegalitatea arată că pentru o funcție convexă (f′′>0f''>0), graficul funcției se află sub coarda care unește punctele (a,f(a))(a, f(a)) și (b,f(b))(b, f(b)). Mai precis, punctul de pe grafic corespunzător mijlocului intervalului, (a+b2,f(a+b2))\left(\frac{a+b}{2}, f(\frac{a+b}{2})\right), este sub punctul mijlociu al corzii, (a+b2,f(a)+f(b)2)\left(\frac{a+b}{2}, \frac{f(a)+f(b)}{2}\right), ilustrând proprietatea de convexitate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.