MediuLogică matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Logică matematică

MediuLogică matematicăNumere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C}, z≠0z \neq 0. Considerăm propozițiile: P:∣z∣=1P: |z| = 1 și Q:z+1z∈RQ: z + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}. Studiați implicația P⇒QP \Rightarrow Q și reciproca Q⇒PQ \Rightarrow P.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrație pentru P⇒QP \Rightarrow Q: dacă ∣z∣=1|z|=1, atunci zzˉ=1z \bar{z}=1, deci 1z=zˉ\frac{1}{z} = \bar{z}. Atunci z+1z=z+zˉ=2Re⁡(z)∈Rz + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2\operatorname{Re}(z) \in \mathbb{R}, deci P⇒QP \Rightarrow Q este adevărată.
25 puncte
Verificare pentru Q⇒PQ \Rightarrow P: fie z=a+biz = a+bi cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. Atunci z+1z=a+bi+a−bia2+b2=(a+aa2+b2)+i(b−ba2+b2)z + \frac{1}{z} = a+bi + \frac{a-bi}{a^2+b^2} = \left(a + \frac{a}{a^2+b^2}\right) + i\left(b - \frac{b}{a^2+b^2}\right). Pentru ca această expresie să fie reală, partea imaginară trebuie să fie zero: b(1−1a2+b2)=0b\left(1 - \frac{1}{a^2+b^2}\right) = 0. Aceasta implică b=0b=0 sau a2+b2=1a^2+b^2=1. Dacă b=0b=0, de exemplu z=2z=2, atunci z+1z=2+0.5=2.5∈Rz + \frac{1}{z} = 2 + 0.5 = 2.5 \in \mathbb{R}, dar ∣z∣=2≠1|z|=2 \neq 1, deci există un contraexemplu. Astfel, Q⇒PQ \Rightarrow P este falsă.
31 punct
Concluzie: implicația P⇒QP \Rightarrow Q este adevărată, dar reciproca Q⇒PQ \Rightarrow P este falsă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logică matematică

Ușor#1Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră ecuația x2−(m+1)x+m=0x^2 - (m+1)x + m = 0, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: pp: „Discriminantul ecuației este pozitiv.” qq: „Suma rădăcinilor este mai mare decât produsul rădăcinilor.” rr: „Ecuația are o rădăcină egală cu 1.” a) Determinați valorile lui mm pentru care propoziția pp este adevărată. b) Stabiliți dacă propoziția qq este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. c) Demonstrați că propoziția p∧q→rp \land q \rightarrow r este adevărată pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.
Ușor#2Logică matematicăNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Fie propozițiile: PP: „zz este real.” QQ: „z2z^2 este real.” RR: „∣z∣=1|z| = 1.” a) Determinați condițiile asupra lui aa și bb pentru care propoziția PP este adevărată. b) Arătați că propoziția QQ este echivalentă cu ab=0ab = 0. c) Studiați valoarea de adevăr a implicației P∨Q→RP \lor Q \rightarrow R și dați un contraexemplu dacă este falsă.
Ușor#3Logică matematicăTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie predicatele p(x):x2−3x+2≥0p(x): x^2 - 3x + 2 \geq 0 și q(x):x≤1q(x): x \leq 1 sau x≥2x \geq 2, definite pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}. Să se studieze valabilitatea echivalenței logice p(x)⇔q(x)p(x) \Leftrightarrow q(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} și să se determine mulțimile A={x∈R∣p(x)}A = \{x \in \mathbb{R} \mid p(x)\} și B={x∈R∣q(x)}B = \{x \in \mathbb{R} \mid q(x)\}.
Mediu#4Logică matematicăFuncția de gradul al II-leaFuncția de gradul I
Fie polinomul P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Se consideră propozițiile: AA: „P(x)P(x) are două rădăcini reale distincte”, BB: „Δ=b2−4ac>0\Delta = b^2 - 4ac > 0”, CC: „P(x)P(x) are cel puțin o rădăcină reală”. Să se studieze implicațiile logice între AA, BB și CC, în cazul a≠0a \neq 0 și în cazul a=0a=0.
Vezi toate problemele de Logică matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logică matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.