MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {(a+1)x+y+z=1x+(a+1)y+z=ax+y+(a+1)z=a2\begin{cases} (a+1)x + y + z = 1 \\ x + (a+1)y + z = a \\ x + y + (a+1)z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și, în acest caz, găsiți soluția. Discutați cazurile în care sistemul este incompatibil sau compatibil nedeterminat.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți sistemul în formă matricială și calculați determinantul matricei coeficienților. Δ=∣a+1111a+1111a+1∣=(a+1)3−3(a+1)+2\Delta = \begin{vmatrix} a+1 & 1 & 1 \\ 1 & a+1 & 1 \\ 1 & 1 & a+1 \end{vmatrix} = (a+1)^3 - 3(a+1) + 2.
22 puncte
Determinați valorile lui aa pentru care Δ≠0\Delta \neq 0. Rezolvați Δ=0\Delta = 0: (a+1)3−3(a+1)+2=0(a+1)^3 - 3(a+1) + 2 = 0. Cu substituția t=a+1t = a+1, obținem t3−3t+2=0t^3 - 3t + 2 = 0, care se factorizează ca (t−1)2(t+2)=0(t-1)^2(t+2)=0, deci t=1t=1 sau t=−2t=-2. Astfel, a=0a=0 sau a=−3a=-3. Pentru a≠0a \neq 0 și a≠−3a \neq -3, sistemul are soluție unică.
33 puncte
Pentru a≠0a \neq 0 și a≠−3a \neq -3, folosiți regula lui Cramer pentru a găsi soluția. Calculați Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z și obțineți x=−(a−1)a+3x = \frac{-(a-1)}{a+3}, y=1a+3y = \frac{1}{a+3}, z=a2+a−1a+3z = \frac{a^2 + a -1}{a+3}.
42 puncte
Discutați cazurile a=0a=0 și a=−3a=-3. Pentru a=0a=0, sistemul devine {x+y+z=1x+y+z=0x+y+z=0\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+y+z=0 \\ x+y+z=0 \end{cases}, care este incompatibil. Pentru a=−3a=-3, sistemul devine {−2x+y+z=1x−2y+z=−3x+y−2z=9\begin{cases} -2x+y+z=1 \\ x-2y+z=-3 \\ x+y-2z=9 \end{cases}; adunând ecuațiile, se obține 0=70=7, deci incompatibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.