MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=ax2+bx+cx2−4f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x^2 - 4} pentru x≠±2x \neq \pm 2, f(2)=mf(2) = m și f(−2)=nf(-2) = n. Să se determine numerele reale a,b,c,m,na, b, c, m, n astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condițiile de continuitate în punctele x=2x=2 și x=−2x=-2: lim⁡x→2f(x)=f(2)=m\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = m și lim⁡x→−2f(x)=f(−2)=n\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2) = n.
23 puncte
Pentru ca aceste limite să existe, numărătorul trebuie să se anuleze în x=2x=2 și x=−2x=-2, deci 4a+2b+c=04a + 2b + c = 0 și 4a−2b+c=04a - 2b + c = 0.
32 puncte
Rezolvăm sistemul: scăzând cele două ecuații, obținem 4b=0⇒b=04b = 0 \Rightarrow b=0, apoi din prima ecuație 4a+c=0⇒c=−4a4a + c = 0 \Rightarrow c = -4a.
42 puncte
Calculează limitele: lim⁡x→2f(x)=lim⁡x→2ax2−4ax2−4=lim⁡x→2a(x2−4)x2−4=a\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{ax^2 -4a}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{a(x^2-4)}{x^2-4} = a (pentru x≠±2x \neq \pm 2). Similar, lim⁡x→−2f(x)=a\lim_{x \to -2} f(x) = a. Deci m=am = a și n=an = a. Prin urmare, soluția este a∈Ra \in \mathbb{R} arbitrar, b=0b=0, c=−4ac=-4a, m=am=a, n=an=a.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.