MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {2x−y+3z=ax+2y−z=b3x+y+2z=c\begin{cases} 2x - y + 3z = a \\ x + 2y - z = b \\ 3x + y + 2z = c \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați condițiile pe care trebuie să le îndeplinească a,b,ca, b, c pentru ca sistemul să fie compatibil, și apoi găsiți soluțiile în cazul în care a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem matricea extinsă a sistemului și calculăm determinantul matricei coeficienților: Δ=∣2−1312−1312∣=2(4+1)+1(2+3)+3(1−6)=10+5−15=0\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4+1) + 1(2+3) + 3(1-6) = 10 + 5 - 15 = 0.
23 puncte
Deoarece Δ=0\Delta = 0, sistemul este compatibil dacă și numai dacă rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse. Calculând minorii, se obține condiția a+b−c=0a + b - c = 0.
34 puncte
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, avem 1+2−3=01+2-3=0, deci sistemul este compatibil. Rezolvăm sistemul: din primele două ecuații, exprimăm xx și yy în funcție de zz. Se obține soluția x=1−zx = 1 - z, y=1+z5y = \frac{1+z}{5}, cu z∈Rz \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.