MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateEcuații exponentiale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2}. Să se determine intervalele de monotonie și convexitate ale funcției ff. Apoi, să se arate că ecuația f(x)=12f(x) = \frac{1}{2} are exact două soluții reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=−2xe−x2f'(x) = -2x e^{-x^2}. Studiul semnului: pentru x<0x < 0, f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0); pentru x>0x > 0, f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare pe (0,∞)(0, \infty). Punct critic la x=0x=0.
23 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=(4x2−2)e−x2f''(x) = (4x^2 - 2) e^{-x^2}. Rezolvarea f′′(x)=0f''(x) = 0 dă x=±1/2x = \pm 1/\sqrt{2}. Intervalele: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x<−1/2x < -1/\sqrt{2} sau x>1/2x > 1/\sqrt{2}, deci ff convexă pe (−∞,−1/2)∪(1/2,∞)(-\infty, -1/\sqrt{2}) \cup (1/\sqrt{2}, \infty); f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru −1/2<x<1/2-1/\sqrt{2} < x < 1/\sqrt{2}, deci ff concavă pe (−1/2,1/2)(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}).
34 puncte
Analiza ecuației: f(0)=1>1/2f(0) = 1 > 1/2 și lim⁡x→±∞f(x)=0<1/2\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 < 1/2. Pe intervalul (−∞,0)(-\infty, 0), ff este crescătoare și continuă, deci există un unic x1<0x_1 < 0 cu f(x1)=1/2f(x_1) = 1/2. Pe (0,∞)(0, \infty), ff este descrescătoare și continuă, deci există un unic x2>0x_2 > 0 cu f(x2)=1/2f(x_2) = 1/2. Astfel, ecuația are exact două soluții reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.