MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Să se rezolve sistemul de ecuații liniare {x+2y−z=12x−y+3z=43x+y+2z=2\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + y + 2z = 2 \end{cases} folosind regula lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se scrie sistemul în formă matriceală și se calculează determinantul sistemului Δ=∣12−12−13312∣=1⋅(−1⋅2−3⋅1)−2⋅(2⋅2−3⋅3)+(−1)⋅(2⋅1−(−1)⋅3)=1⋅(−2−3)−2⋅(4−9)−1⋅(2+3)=−5−2⋅(−5)−5=−5+10−5=0\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 3) + (-1) \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 1 \cdot (-2-3) - 2 \cdot (4-9) -1 \cdot (2+3) = -5 - 2 \cdot (-5) - 5 = -5 + 10 - 5 = 0.\n
23 puncte
Deoarece Δ=0\Delta = 0, se verifică dacă sistemul este compatibil. Se calculează determinanții pentru necunoscute: Δx=∣12−14−13212∣\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}, Δy=∣11−1243322∣\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{vmatrix}, Δz=∣1212−14312∣\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}. Calcule: Δx=1⋅(−1⋅2−3⋅1)−2⋅(4⋅2−3⋅2)+(−1)⋅(4⋅1−(−1)⋅2)=−5−2⋅(8−6)−1⋅(4+2)=−5−4−6=−15\Delta_x = 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (4 \cdot 2 - 3 \cdot 2) + (-1) \cdot (4 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) = -5 - 2 \cdot (8-6) -1 \cdot (4+2) = -5 - 4 - 6 = -15, Δy=1⋅(4⋅2−3⋅2)−1⋅(2⋅2−3⋅3)+(−1)⋅(2⋅2−4⋅3)=1⋅(8−6)−1⋅(4−9)−1⋅(4−12)=2+5+8=15\Delta_y = 1 \cdot (4 \cdot 2 - 3 \cdot 2) - 1 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 3) + (-1) \cdot (2 \cdot 2 - 4 \cdot 3) = 1 \cdot (8-6) - 1 \cdot (4-9) -1 \cdot (4-12) = 2 + 5 + 8 = 15, Δz=1⋅(−1⋅2−4⋅1)−2⋅(2⋅2−4⋅3)+1⋅(2⋅1−(−1)⋅3)=1⋅(−2−4)−2⋅(4−12)+1⋅(2+3)=−6−2⋅(−8)+5=−6+16+5=15\Delta_z = 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 4 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 4 \cdot 3) + 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 1 \cdot (-2-4) - 2 \cdot (4-12) + 1 \cdot (2+3) = -6 - 2 \cdot (-8) + 5 = -6 + 16 + 5 = 15.\n
33 puncte
Deoarece Δ=0\Delta = 0 și toți Δx,Δy,Δz\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z sunt nenuli, sistemul este incompatibil. Se concluzionează că sistemul nu are soluție unică și se verifică incompatibilitatea prin încercarea de a exprima o ecuație din altele.\n
42 puncte
Se observă că ecuațiile sunt dependente liniar; de exemplu, adunând prima ecuație cu a doua, se obține 3x+y+2z=53x + y + 2z = 5, care contrazice a treia ecuație 3x+y+2z=23x + y + 2z = 2, confirmând incompatibilitatea. Răspunsul final: sistemul nu are soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.